什么是“可计算图像”？广义向量图像的理论基础初探

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探讨可计算图像（Computable Image）或矢量图像（Vector Image）的广义理论基础，结合函数建模、计算理论与可视化实践，为博客构建提供高效图像表示方式。

如果说像素图像是“存储”，那么可计算图像则是“生成”——在信息冗余的时代，图像的“可计算性”才是真正高效的信息结构。

一、位图与向量图：图像的两种范式

传统图像采用位图表示，每个像素 I[x, y] 是颜色数据。但这种方式存在信息冗余，且难以缩放。相比之下，矢量图使用几何图元与函数表示图像，具有结构清晰、可缩放、易修改等优点。

SVG 示例：

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<svg width="120" height="120" viewBox="0 0 120 120" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <circle cx="60" cy="60" r="50" stroke="black" stroke-width="3" fill="tomato" />
</svg>

渲染如下：

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二、可计算图像的数学基础

图像是函数

我们可以将图像视为函数：

I : ℝ2 → ℝ3,  I(x, y) = (r, g, b)

即图像是二维平面上到 RGB 空间的映射。若该函数可由程序计算，则称之为可计算图像（Computable Image）。

可计算函数

函数 I(x, y) 是可计算的，当存在有限程序可在任意精度下逼近 I(x, y)。这就为构建图像的“生成逻辑”提供了理论依据。

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三、表示范式

  1. 参数图像（SVG、TikZ）

图像是参数的组合，如：

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\draw[blue, thick] (0,0) circle (1cm);
  1. 过程图像（Procedural）

图像通过代码生成，如：

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def image(x, y):
    return (sin(x * 3.14), x % 1, y % 1)
  1. 生成模型（GAN）

I(z) = Decoder(z)

潜变量生成图像，是可计算图像的一种神经建模形式。

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四、博客中的实际应用

使用 Mermaid 插图

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graph TD;
  A[Pixel 图像] -->|存储密集| B[位图]
  A -->|生成函数| C[向量图]
  C --> D[SVG]
  C --> E[Procedural]
  C --> F[GAN]

使用 MathJax 显示公式

示例公式：

$$I(x, y) = \begin{cases} \text{红色}, & x^2 + y^2 < 1 \ \text{蓝色}, & \text{否则} \end{cases}$$

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五、总结

“可计算图像”代表了图像表示从静态数据向函数式建模的范式转变。它不仅能节省空间、提高显示效果，更为自动化内容生成和科学可视化提供坚实基础。

未来图像的更多可能性，将由程序来定义。

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